data: 2023-10-02
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Untitled
tipologia: sommario
stato: "1"Problemi del Calcolo Combinatorio
Cenni al Calcolo Combinatorio, definizione del coefficiente binomiale
data: 2023-10-03
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Problemi del Calcolo Combinatorio
tipologia: appunti
stato: "1"Significato del calcolo combinatorio; quali problemi esso mira di risolvere. Alcuni problemi: disposizioni con ripetizioni, disposizione di oggetti a m a m, permutazioni di n oggetti e combinazioni. Alcuni problemi misti del calcolo combinatorio
Se si definisce l'insieme dei numeri naturalinaturali come l'insieme dei numeri che servono per contare, allora il calcolo combinatorio si basa sul problema di contare certi insiemi/oggetti/
DEF 1. Cardinalità Si definisce la cardinalità di un insieme
Il calcolo combinatorio ci presenta vari problemi che valgono la pena di essere studiati.
PROBLEMA 2.1. Supponiamo che
Se disegniamo il grafico di un qualsiasi prodotto cartesiano
PROBLEMA 2.2. Siano
Stesso discorso vale per
DEF 2.2. Questo problema, nel calcolo combinatorio, si chiama disposizioni con ripetizioni, ovvero senza vincoli particolari.
Se voglio costruire tutte le bandiere tricolori possibili (ove sono ammessi i anche colori ripetuti) con 4 colori a disposizione, quante posso costruirne?
SOLUZIONE. Questo è un caso applicato di disposizioni con ripetizione; infatti se si definisce le caselle delle bandiere come un insieme a tre variabili,
Pertanto la soluzione è
PROBLEMA 2.3. Prendiamo lo stesso problema di prima; tuttavia vogliamo ora considerare un vincolo particolare: vogliamo cercare solo le funzioni iniettiveiniettive (DEF 3.2.) da
DEF 2.3.1. Inoltre indichiamo l'insieme delle funzioni iniettive come
SOLUZIONE. Si può avvalere dello stesso grafico di prima; se prendo il primo elemento
Pertanto
Prendiamo in esame lo stesso problema di prima, ovvero quella avendo a disposizione una bandiera tricolore da colorare e quattro colori.
Ora non vogliamo più i stessi colori; infatti, se la funzione dev'essere iniettiva, allora in un senso applicato ciò vuol dire che ad ogni area della bandiera dev'esserci un colore diverso.
Quindi si tratta di calcolare
PROBLEMA 2.4. Prendiamo il problema appena preso in esame (ovvero la disposizione di oggetti da
DEF 2.4.1. Definiamo l'insieme delle permutazioni (ovvero delle funzioni biiettive) come
SOLUZIONE. Questo non è altro che un caso speciale di
Consideriamo un problema totalmente diverso; se ho la stringa "CIAO", quante volte posso cambiarlo in modo tale che le lettere presenti nella stringa ci siano comunque?
Questo si tratta ovviamente di una permutazione, quindi calcoliamo
PROBLEMA 2.5. Se considero un insieme
DEF. 2.5.1. Definiamo l'insieme dei sottoinsiemi di
SOLUZIONE. Qui usiamo un esperimento mentale che presenta una situazione analoga a quella presentata.
Suppongo di aver
Tuttavia in questo modo tengo conto dell'ordine in cui scelgo le palline; invece le combinazioni non tengo conto dell'ordine. Quindi se vogliamo considerare l'ordine, dobbiamo attribuire ad ogni combinazione una permutazione; ciò vuol dire che bisogna moltiplicare le combinazioni di
Se ho un sacco con
Semplicemente,
Ora presentiamo alcuni esempi misti del calcolo combinatorio, che può comprendere l'ausilio di alcune delle definizioni date sopra e un buon approccio critico ai problemi.
PROBLEMA 3.1. Ho un mazzo da
Questo è un caso quasi-banale di combinazioni, quindi
Anche qui si tratta di un problema di combinazioni, che però va affrontato più criticamente: infatti vogliamo estrarre le
PROBLEMA 3.1.B Considerando lo stesso mazzo di carte, ora voglio invece calcolare i risultati
Un approccio particolarmente furbo è quello semplicemente di prendere
Quindi,
Infatti,
PROBLEMA 3.2. Il Lotto. Ho
Anche qui si tratta di un caso di combinazioni in quanto non tiene conto dell'ordine dei numeri estratti (in quanto essi vengono già ordinati in un'ordine crescente).
In quanti modi posso mettere le pedine sulla scacchiera, se voglio che tutte le righe e tutte le colonne abbiano almeno una pedina?
PROPOSTA DELLA SOLUZIONE. Ragioniamo nel seguente modo:
data: 2023-10-03
corso: "[[Analisi Matematica I]]"
argomento: Coefficiente Binomiale
tipologia: appunti
stato: "1"Coefficiente binomiale come strumento per risolvere un problema del calcolo combinatorio; regole e teoremi sul coefficiente binomiale; costruzione del triangolo di Tartaglia; teorema di Newton (o del binomio) con dimostrazione. Applicazioni del teorema.
DEF 1. Dai risultati del Problemi del Calcolo CombinatorioProblemi del Calcolo Combinatorio, sappiamo che
Enunciamo le seguenti proprietà del coefficiente binomiale
Enunciamo di nuovo le 3 regole sopra:
Disponiamo tutti i coefficienti binomiali
OSS 3.1.1. Alle "estremità" del triangolo risulta sempre il numero
OSS 3.1.2. Se sono arrivato alla riga
Questi sono gli elementi che stanno al di "sopra" e "sopra e sinistra" dell'elemento che vogliamo conoscere.
ESEMPIO 3.1.2.1. Per esempio ho
Ovvero
Il triangolo di Tartaglia è una costruzione matematica molto importante, in quanto essa può essere sfruttata per sviluppare la potenza di un binomio in
TEOREMA 1. Siano
1. Verificare che è vera per
ESEMPIO 4.1.1. Vogliamo calcolare
Otteniamo innanzitutto lo sviluppo di
Si può risolvere questo problema in due modi:
ESEMPIO 4.1.3. Calcolare
Tuttavia questa risposta non è abbastanza rigorosa per essere considerata; infatti per avere una giustificazione più sicura, si deve usare il teorema del binomio nel seguente modo.
Siano