Se si definisce l'insieme dei numeri naturalinaturali come l'insieme dei numeri che servono per contare, allora il calcolo combinatorio si basa sul problema di contare certi insiemi/oggetti/

DEF 1. Cardinalità Si definisce la cardinalità di un insieme come il numero degli elementi contenuti nell'insieme . Lo si denota come .

Il calcolo combinatorio ci presenta vari problemi che valgono la pena di essere studiati.

Ora presentiamo alcuni esempi misti del calcolo combinatorio, che può comprendere l'ausilio di alcune delle definizioni date sopra e un buon approccio critico ai problemi.

PROBLEMA 3.1. Ho un mazzo da carte e ne pesco ; quanti sono i possibili risultati ?
Questo è un caso quasi-banale di combinazioni, quindi PROBLEMA 3.1.A Ora considerando che ci sono semi (quindi carte per seme), quanti sono i risultati che NON contengono le carte di denari?
Anche qui si tratta di un problema di combinazioni, che però va affrontato più criticamente: infatti vogliamo estrarre le carte escludendone , in quanto essi rappresentano dei semi; quindi sostanzialmente il "corpo" delle carte sono solo .

PROBLEMA 3.1.B Considerando lo stesso mazzo di carte, ora voglio invece calcolare i risultati che contengono invece i denari.
Un approccio particolarmente furbo è quello semplicemente di prendere (ovvero tutte le combinazioni possibili) e sottrarli per il numero dei risultati senza i denari; infatti l'insieme dei risultati con i denari è complemento dell'insieme dei risultati senza i denari.
Quindi, Oppure un altro approccio comunque accettabile è di considerare tutte le combinazioni dei risultati con esattamente un seme, poi due semi e infine tre semi e infine sommarli.
Infatti,

PROBLEMA 3.2. Il Lotto. Ho bussolotti, ovvero dei numeri; ne estraggo . Quali sono le possibili estrazioni?
Anche qui si tratta di un caso di combinazioni in quanto non tiene conto dell'ordine dei numeri estratti (in quanto essi vengono già ordinati in un'ordine crescente). PROBLEMA 3.3. Ho una scacchiera e pedine uguali.
In quanti modi posso mettere le pedine sulla scacchiera, se voglio che tutte le righe e tutte le colonne abbiano almeno una pedina?

PROPOSTA DELLA SOLUZIONE. Ragioniamo nel seguente modo:

1. Voglio porre le prime pedine in modo tale che il vincolo venga rispettato (quindi tutte le righe e le colonne hanno almeno una pedina piazzata), poi per porre la -esima pedina liberamente.
2. Per le pedine ragiono così:
   1. Voglio porre la prima pedina sulla prima riga e su qualsiasi colonna. Ho quindi possibilità.
   2. Ora voglio porre la seconda pedina sulla seconda riga; però non posso porlo sulla stessa colonna scelta dalla prima pedina, dandomi una scelta in meno. Ho quindi possibilità.
   3. Mi accorgo che qui si tratta di un semplice problema di permutazioni (o disposizioni di oggetti a 5 a 5), ovvero che per calcolare tutte le possibilità devo fare .
3. Ora considero la -esima pedina: se le altre pedine hanno già occupato le loro caselle, allora mi rimangono solo caselle ().
4. Quindi ottengo il risultato

DEF 1. Dai risultati del Problemi del Calcolo CombinatorioProblemi del Calcolo Combinatorio, sappiamo che

Enunciamo le seguenti proprietà del coefficiente binomiale :

3. REGOLA DI STIFEL. Sia , DIMOSTRAZIONE FORMALE.
   Per definizione, Osservare la proprietà che consegue dalla definizione ricorrente del fattoriale (Assiomi di Peano, il principio di induzioneAssiomi di Peano, il principio di induzione): da ciò implica che Quindi secondo questa logica, si può dire le seguenti: Allora DIMOSTRAZIONE SENZA CALCOLI/TEORICA.
   Alternativamente, si potrebbe pensare la regola di Stifel nel seguente modo:
   "Voglio contare le contare i sottoinsiemi con elementi dell'insieme (ove ); quindi voglio .
   Ora distinguiamo uno degli elementi di con un contrassegno particolare, come il colore rosso; adesso gli insiemi di elementi si dividono in due.
   Ovvero, l'insieme dei sottoinsiemi che contengono l'elemento rosso e l'insieme dei sottoinsiemi che non contengono l'elemento rosso.
   Consideriamo l'insieme di tutti i sottoinsiemi che contengono l'elemento speciale: devo quindi obbligatoriamente considerare l'elemento rosso, tirandolo fuori. Ho quindi da elementi ne posso scegliere solo , in quanto una è stata già scelta, e posso scegliere solo elementi visto che il primo elemento (ovvero il rosso) è stato già obbligatoriamente scelto.
   Consideriamo invece l'altro insieme di tutti i sottoinsiemi che NON contengono l'elemento contrassegnato: in questo caso si tratta semplicemente di escludere l'elemento rosso dalle scelte possibili, dandoci solo scelte su .
   Pertanto